Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

✅ Chuyên mục: Công thức Toán
✅ Loại file: ⭐ PDF
✅ Dung lượng: ⭐ Unknown
✅ Lượt xem: ⭐ 1 lượt xem
✅ Loại tài liệu: ⭐ Chọn lọc (Tải miễn phí)

TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh bài viết tuyển tập các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng thường được sử dụng trong giải toán. Như chúng ta đều biết, việc nhớ hết toàn bộ các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng là khó khăn, vì số lượng công thức khá nhiều, một số công thức phức tạp và dễ nhầm lẫn với các công thức khác. Tất nhiên, TOANMATH.com vẫn khuyến khích bạn đọc học thuộc các công thức lượng giác dưới đây, bởi như vậy, chúng ta sẽ chủ động trong quá trình giải quyết các bài toán.

1. Tính chất tuần hoàn

sin⁡α=sin⁡(α+2kπ)

cos⁡α=cos⁡(α+2kπ)

tan⁡α=tan⁡(α+kπ)

cot⁡α=cot⁡(α+kπ)

2. Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt
a. Hai cung đối nhau:

cos⁡(–α)=cos⁡α

sin⁡(–α)=–sin⁡α

tan⁡(–α)=–tan⁡α

cot⁡(–α)=–cot⁡α

b. Hai cung bù nhau:

sin⁡(π–α)=sin⁡α

cos⁡(π–α)=–cos⁡α

tan⁡(π–α)=–tan⁡α

cot⁡(π–α)=–cot⁡α

c. Hai cung phụ nhau:

sin⁡(π2–α)=cos⁡α

cos⁡(π2–α)=sin⁡α

tan⁡(π2–α)=cot⁡α

cot⁡(π2–α)=tan⁡α

d. Hai cung hơn kém π:

sin⁡(π+α)=–sin⁡α

cos⁡(π+α)=–cos⁡α

tan⁡(π+α)=tan⁡α

cot⁡(π+α)=cot⁡α

e. Hai cung hơn kém π2:

sin⁡(π2+α)=cos⁡α

cos⁡(π2+α)=–sin⁡α

tan⁡(π2+α)=–cot⁡α

cot⁡(π2+α)=–tan⁡α

3. Công thức lượng giác cơ bản

sin2a+cos2a=1

tan⁡a=sin⁡acos⁡a

cot⁡a=cos⁡asin⁡a

1+tan2a=1cos2a

1+cot2a=1sin2a

tan⁡acot⁡a=1

4. Công thức cộng

cos⁡(a–b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b–sin⁡asin⁡b

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a

sin⁡(a–b)=sin⁡acos⁡b–sin⁡bcos⁡a

tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1–tan⁡atan⁡b

tan⁡(a–b)=tan⁡a–tan⁡b1+tan⁡atan⁡b

5. Công thức nhân đôi

sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a

cos⁡2a=cos2a–sin2a =2cos2a–1 =1–2sin2a

tan⁡2a=2tan⁡a1–tan2a (a≠π4+2kπ)

cot⁡2a=cot2a–12cot⁡a (a≠kπ2)

6. Công thức nhân ba

sin⁡3a=3sin⁡a–4sin3a

cos⁡3a=4cos3a–3cos⁡a

tan⁡3a=3tan⁡a–tan3a1–3tan2a (a≠π6+2kπ)

cot⁡3a=3cot2a–1cot3a–3cot⁡a (a≠kπ3)

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a–b)+cos⁡(a+b)]

sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a–b)–cos⁡(a+b)]

sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a–b)]

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡a+b2cos⁡a–b2

cos⁡a–cos⁡b=–2sin⁡a+b2sin⁡a–b2

sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a–b2

sin⁡a–sin⁡b=2cos⁡a+b2sin⁡a–b2

cos⁡a+sin⁡a =2cos⁡(π4–a) =2sin⁡(π4+a)

cos⁡a–sin⁡a =2cos⁡(π4+a) =2sin⁡(π4–a)

tan⁡a+tan⁡b=sin⁡(a+b)cos⁡acos⁡b

tan⁡a–tan⁡b=sin⁡(a–b)cos⁡acos⁡b

cot⁡a+cot⁡b=sin⁡(a+b)sin⁡asin⁡b

cot⁡a–cot⁡b=sin⁡(b–a)sin⁡asin⁡b

cot⁡a+tan⁡a=2sin⁡2a

cot⁡a–tan⁡a=2cot⁡2a

9. Công thức hạ bậc

cos2a=1+cos⁡2a2

sin2a=1–cos⁡2a2

tan2a=1–cos⁡2a1+cos⁡2a

sin2acos2a=1–cos⁡4a8

cos3a=3cos⁡a+cos⁡3a4

sin3a=3sin⁡a–sin⁡3a4

sin4a=cos⁡4a–4cos⁡2a+38

cos4a=cos⁡4a+4cos⁡2a+38

10. Công thức biến đổi theo tan⁡a2
Đặt t=tan⁡a2 với a≠π2+kπ, a2≠π4+kπ. Ta có:

cos⁡a=1–t21+t2

sin⁡a=2t1+t2

tan⁡a=2t1–t2

11. Tập nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

sin⁡u=sin⁡v⇔[u=v+k2πu=π–v+k2π

cos⁡u=cos⁡v⇔[u=v+k2πu=–v+k2π

tan⁡u=tan⁡v⇔u=v+kπ

cot⁡u=cot⁡v⇔u=v+kπ

Trường hợp đặc biệt:

sin⁡u=0⇔u=kπ

sin⁡u=1⇔u=π2+k2π

sin⁡u=–1⇔u=–π2+k2π

cos⁡u=0⇔u=π2+kπ

cos⁡u=1⇔u=k2π

cos⁡u=–1⇔u=π+k2π

Lưu ý: Một số điều kiện về các ẩn số chúng tôi đã cố ý lược bỏ để bài viết trở nên tinh giản, thuận tiện cho việc tra cứu.